Ο μυστηριώδης αριθμός Φ.

 Ο μυστηριώδης αριθμός Φ.                                                                                                           

Ο Πυθαγόρας υποστηρίζει ότι αποτελεί μια απ’ τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης. Ο Φειδίας κι ο Ικτίνος τον χρησιμοποιούν στην κατασκευή του Παρθενώνα κι ο Ντα Βίντσι στους  πίνακές του. Ο αριθμός αυτός χαρακτηρίζει όλους σχεδόν τους φυσικούς σχηματισμούς, απ’ τους πιο ελάχιστους, μέχρι τους μεγαλύτερους. Πρόκειται για τον αριθμό Φ, τον αριθμό της λεγόμενης χρυσής τομής. Το όνομα Φ. του δόθηκε προς τιμή του Φειδία, χρυσό αριθμό τον ονόμασε ο Λατίνος ποιητής Οράτιος (aurea mediocritas) και αργότερα ο Κέπλερ.

Οι αρχαίοι μαθηματικοί, με την αδυναμία τους στην τελειότητα και την αρμονία, είχαν δώσει ξεχωριστή σημασία στη διαίρεση μιας ευθείας σε «μέσο και άκρο λόγο», ή πιο απλά, να χωρίσουμε μια ευθεία σε δυο άνισα μέρη ώστε, το πηλίκο της διαίρεσης του μεγάλου τμήματος δια του μικρότερου, να είναι ίσο με το πηλίκο ολόκληρης της ευθείας δια του μεγαλυτέρου. Ο αριθμός αυτός είναι σταθερός, ανεξάρτητος απ’ το μήκος της ευθείας, ονομάστηκε απ’ τους αρχαίους χρυσή τομή, ή θεία αναλογία, και είναι ίσος με 1,6180339…., ή συνοπτικά 1,618. Συμβολίζεται με το γράμμα Φ απ’ το όνομα του Φειδία που τον χρησιμοποίησε στη κατασκευή του Παρθενώνα.

Η ακολουθία του Ιταλού μαθηματικού Leonardo Fibonacci που την περιέγραψε στο βιβλίο του Liber Abasi, που εξέδωσε το 1202, είναι μια σειρά αριθμών που ο καθένας προκύπτει απ’ το άθροισμα των δυο προηγουμένων του. Δηλαδή:

                            0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,………

Δηλαδή το 8 ισούται με τους δυο προηγούμενους 3+5, το 89 με 34+55 κλπ.

Όταν στη σειρά αυτή διαιρεθούν δυο διαδοχικοί αριθμοί, ο μεγαλύτερος δια του μικρότερου, τα πηλίκα της διαίρεσης προσεγγίζουν περισσότερο τον Φ, όσο απομακρυνόμαστε απ’ την αρχή. Παράδειγμα 2/1=2, 3/2=1,5, 5/3= 1,666…, 8/5=1,60, 13/8=1,625, 21/13=1,61538…, 34/21=1,6190476..,55/34=1,617647.., 233/144= 1,618055.., 6765/4181=1,6180339..,

Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο του οποίου οι διαστάσεις  έχουν λόγο το Φ, ονομάζεται χρυσό ορθογώνιο, και ικανοποιεί αισθητικά περισσότερο το ανθρώπινο μάτι, το ίδιο και το ισοσκελές τρίγωνο του οποίου η βάση προς το ύψος έχουν λόγο το Φ, καθώς και το ισοσκελές τρίγωνο του οποίου μια απ’ τις ίσες πλευρές του προς τη βάση έχει τον ίδιο λόγο, λέγονται χρυσά τρίγωνα.

Όταν από ένα χρυσό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, αποκοπεί ένα τετράγωνο, το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που μένει είναι χρυσό, το ίδιο θα συμβεί κι όταν απ’ το νέο  χρυσό ορθογώνιο αποκοπεί ένα τετράγωνο κοκ.  Αν για παράδειγμα, από ένα χρυσό ορθογώνιο διαστάσεων 8×13, που κι αυτό μπορεί να προέρχεται από άλλο διαστάσεων 13×21, αποκοπεί ένα τετράγωνο πλευράς 8, μένει ορθογώνιο διαστάσεων  8×5, όταν  απ’ αυτό αποκοπεί τετράγωνο πλευράς 5, μένει ορθογώνιο διαστάσεων 3×5, όταν αποκοπεί τετράγωνο πλευράς 3 μένει ορθογώνιο διαστάσεων 3×2, και τέλος όταν αποκοπεί τετράγωνο πλευράς 2 μένει ορθογώνιο διαστάσεων 2×1, το οποίο χωρίζεται σε δυο τετράγωνα πλευράς 1. Απ’ όλα αυτά γίνεται φανερό ότι η πλευρά των τετραγώνων που αποκόπτονται κάθε φορά, ακολουθούν πιστά την ακολουθία του Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,….. 

Εάν στα τετράγωνα που αποκοπήκαν γραφούν τεταρτοκύκλια, με κέντρο τη κορυφή και ακτίνα την πλευρά, σχηματίζεται ένα ελικοειδές σπείρωμα, το λεγόμενο χρυσό σπείρωμα που έχει βάση το Φ, και συναντάτε ευρύτατα στη φύση, όπως στα κουκουνάρια, το άνθος του ηλίανθου, στις μαργαρίτες, στα φοινικόδεντρα, στη διάταξη των φύλλων και των κλάδων πολλών φυτών, σε πολλά είδη σαλιγκαριών και οστρακοειδών, στο σχήμα των κυκλώνων, στο σχήμα γαλαξιών με δισεκατομμύρια αστεριών και αλλού.

Με τον αριθμό Φ πρώτος ασχολήθηκε ο Πυθαγόρας, και δεν είναι τυχαίο ότι οι Πυθαγόρειοι είχαν σαν σύμβολο αδελφότητας το πεντάκτινο αστέρι, τη γνωστή μας πεντάλφα, που σχηματίζεται απ’ τις διαγώνιες κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένο σε κύκλο. Εύκολα αποδείχνετε ότι κάθε ευθεία του αστεριού διαιρεί τις δυο άλλες σε χρυσή τομή, και τα πέντε ισοσκελή τρίγωνα που σχηματίζονται είναι χρυσά. Ίσως να της απέδιδαν κι άλλες ακόμα ιδιότητες, αφού μέχρι πριν μερικές δεκαετίες ακόμα, όταν κάποιο παιδί έπασχε από παρωτίτιδα, για να γιατρευτεί, ο παπάς του σχημάτιζε με μελάνι μια πεντάλφα στο μάγουλο. Αργότερα τον χρησιμοποίησαν ο Ικτίνος, ο Καλλικράτης και ο Φειδίας στον Παρθενώνα, του οποίου οι αναλογίες βασίζονται στο Φ, και σε πολλά άλλα ακόμα μνημεία της αρχαιότητας. Το Φ το γνώριζαν και το αξιοποίησαν κι άλλοι λαοί, στην Αίγυπτο το ύψος της μεγάλης πυραμίδας της Γκίζας σε σχέση προς τη βάση βρίσκεται σε αναλογία Φ, στην Αμερική τα ερείπια στο Newark του Ohio, που η ηλικία του ξεπερνά τα 2500 είναι κατασκευασμένα με βάση την αναλογία του Φ.   

Κατά την περίοδο της αναγέννησης τον εφάρμοσαν ευρύτατα στα έργα τους, πρώτος ο Ντα Βίντσι, κι ακολούθησαν πολλοί άλλοι μεγάλοι ζωγράφοι, όπως ο Μοντριάν, και ο Σαλβαντόρ Νταλί, μουσικοσυνθέτες, όπως ο Μότσαρτ κι άλλοι ακόμα, που χώρισαν τις συνθέσεις τους με βάση την αναλογία του Φ και πάρα πολλοί αρχιτέκτονες.

Ευρύτατα η αναλογία αυτή συναντάτε και στη φύση. Η κατανομή των κλωναριών και των φύλλων στα φυτά, προσεγγίζουν την αναλογία αυτή. Τα κουκουνάρια, τα σαλιγκάρια, τα κοχύλια, το λουλούδι της μαργαρίτας και του ηλίανθου και πολλά άλλα ακόμα, ακολουθούν τα σπείρωμα του Leonardo Fibonacci.

Αν σ’ ένα κανονικό άνθρωπο, διαιρέσεις το ύψος του δια της απόστασης απ’ τον αφαλό μέχρι το άκρο των ποδιών του, την απόσταση απ’ τον ώμο μέχρι την άκρη των δακτύλων δια της απόστασης απ’ τον αγκώνα μέχρι την άκρη των δακτύλων, το μήκος του ποδιού δια του μήκους απ’ το γόνα και κάτω, οι λόγοι προσεγγίζουν το Φ. Το ίδιο με τα δάχτυλά μας, το στόμα, τη μύτη, και άλλα όργανα του ανθρώπου, ακόμα και το DNA. Κάποιος που χαρακτηρίζεται όμορφος και με αρμονικές αναλογίες, οι αναλογίες του προσεγγίζουν πολύ τον αριθμό Φ.